Our website does not support Internet Explorer.

To get the best experience on our website and of our content, please use a more modern browser like Edge, Chrome, Safari or similar.

Oändlighet är ormen i fysikens paradis

I årtusenden har tänkare funderat över oändlighet. Som en gäckande orm slingrar den sig in i matematiken men varje gång den sticker upp huvudet i fysiken uppstår olösliga paradoxer. Först för hundra år sedan lärde sig matematikerna att räkna med oändliga mängder, men en viktig fråga återstår: Finns oändligheten bara i siffrornas teoretiska värld eller är den en del av verkligheten?

Shutterstock

För 100 år sedan satte en hjärtattack stopp för ett av världshistoriens största matematiska genier. Georg Cantor sade farväl till livet den 6 januari 1918, ensam i sitt rum på ett psykiatriskt sanatorium i tyska Halle.

I skuggan av första världskriget tillbringade han här sin sista tid i fattigdom, försvagad av hunger och djupt plågad av en depression som förföljt honom i årtionden.

Det är dock tveksamt om Georg Cantor såg sig själv som en av världshistoriens största inom sitt gebit. Större delen av hans karriär präglades av kritik och motstånd från andra matematiker, och i långa perioder tvivlade han på sig själv.

För samtidens matematiker lät hans tankar också som rent vansinne. Han hävdade bland annat att det inte bara finns en utan två former av oändlighet.

Dagens matematiker är dock rörande överens om att hans bidrag till matematiken var ovärderligt eftersom han gav oss en helt ny förståelse för begreppet oändlighet.

För att förstå Cantors bedrift måste vi gå årtusenden eller rent av ännu längre tillbaka i tiden.

Kanske har tanken på oändligheten fascinerat och plågat människan sedan våra förfäder började blicka upp mot himlen och fundera över hur långt det är till stjärnorna, och vad som låg bortom dem.

Tanken på oändlighet är svindlande och det paradoxala är att vi skräms av den samtidigt som vi inte kan klara oss utan den.

Påståendet att universum är oändligt ger ofta reaktionen: ”Det måste ju ta slut någonstans”. Tvärtom har vi svårt att acceptera tanken på ett ändligt universum, för ”vad finns då utanför det?”.

© DEA/A. DAGLI ORTI/Getty

"Naturen flyr från det oändliga eftersom det är ofullbordat och naturen söker alltid efter ett slut."

Aristoteles (384–322 f.Kr.) förnekade att oändlighet finns i verkligheten.

Paradoxen har inte blivit mindre efter tillkomsten av naturvetenskapens grundverktyg, matematiken.

Här dyker det upp oändligheter lite överallt, men betyder det då också att de är en del av fysiken?

De flesta fysiker skulle nog svara nej. När de utvecklar teorier som ska beskriva verkligheten och de kan se att ekvationerna innehåller oändligheter ser de det oftast som ett tecken på att det måste vara något fel med teorin.

Å andra sidan har matematiken visat sig vara ett helt oumbärligt verktyg för att beskriva naturen så varför skulle det vara så stor skillnad på teori och verklighet i matematik och fysik?

Oändlighet är inget konstigt

Oändlighet hör inte bara till komplicerad och avancerad matematik. Ett barn behöver inte vara så gammalt innan det lär sig att räkna, och därifrån är inte steget långt till att fråga vilket som är det största talet.

Tusen, en miljon, en miljard – eller kanske en biljon, en biljard eller en triljon?

Vi lär oss snabbt att talföljden fortsätter, även efter de största namngivna talen – exempelvis googol, som är en etta följd av hundra nollor, eller en googolplex, som är 10googol. Inget tal är dock större än oändligheten.

I skolan stöter vi på oändligheter redan när vi börjar räkna med bråk och decimaltal.

Det enkla bråket 1/3 kan skrivas som 0,333333… och vi får lära oss att treorna efter kommatecknet fortsätter i det oändliga.

Samtidigt får vi i våra första skolböcker om geometri veta att en linje består av oändligt många punkter som var och en har en oändligt liten storlek.

Lite senare lär vi oss också det särskilda tecknet för oändlighet, den liggande åttan, ∞, som sannolikt symboliserar en orm som biter sig själv i svansen.

När vi går ut skolan är oändligheten i matematikens värld ett välkänt och accepterat fenomen för oss alla.

Matematisk insikt kostade ett männiksoliv

I antikens Grekland var de första mötena med oändlighet en betydligt mer dramatisk affär. En av matematikens största var Pythagoras och han levde från 570 till 495 f.Kr.

Han var en multikonstnär och sysslade bland annat med filosofi, matematik och musik, och helst en blandning av dem alla. Han grundade ett broderskap, pythagoréerna, som bestod av hans elever och anhängare.

I dag vet vi ytterst lite om pythagoréerna som var ett hemlighetsfullt broderskap där medlemmarna hade tystnadsplikt men på vissa områden var långt före sin tid.

Exempelvis förespråkade de jämställdhet och därför var kvinnor lika välkomna i broderskapet som män.

I gengäld var fritänkandet begränsat när det gällde att ifrågasätta de matematiska sanningar som gällde på den tiden. Åtminstone om vi ska tro på berättelsen om en av Pythagoras elever, Hippasos.

Under en båtresa över Medelhavet berättade Hippasos för sina vänner i broderskapet om några tankar han hade om det vi i dag kallar Pythagoras sats:

Att det i en rätvinklig triangel finns ett samband mellan sidorna så att kvadraten på hypotenusan (dess längd gånger sig själv) är lika med summan av kvadraten på var och en av kateterna.

Hippasos hade räknat på den enkla triangeln där kateternas längd är 1 och då kommit fram till att längden på hypotenusan inte kunde beskrivas med ett heltal – eller ens med ett bråk.

Längden är däremot √2. Hippasos underhöll sina reskamrater med att leda i matematiskt bevis att det inte fanns något heltal eller något bråk som multiplicerat med sig själv blev 2.

Det skulle han inte ha gjort. Hans bröder blev så bestörta att de prompt slängde Hippasos överbord och lät honom drunkna.

Pythagoréernas hantering av problemet kunde så klart inte hålla i längden, och i dag vet vi att Hippasos hade rätt. √2 är ett så kallat irrationellt tal.

Vi kan skriva det som ett decimaltal och får då 1,414213562373095, om vi väljer att nöja oss med 15 decimaler. Men decimalerna fortsätter och det finns inget mönster i dem som det gör till exempel för bråket 1/3, där vi kan förutsäga att decimalerna är treor i all oändlighet.

Ett annat irrationellt tal är π. Det kan inte heller skrivas ut exakt som ett bråk, även om 22/7 kommer ganska nära. Med 15 decimaler är π = 3,141592653589793.

De irrationella tal som Hippasos var på spåret skulle långt senare visa sig vara viktiga för vår djupare förståelse av det oändliga, men dessförinnan väntade en lång rad bekymmer för generationer av matematiker och filosofer.

Några av de bästa exemplen är de paradoxer som formulerades av Zenon från Elea, som levde 490–425 f.Kr. Zenon berättade exempelvis historien om Akilles som skulle springa ikapp med en sköldpadda.

Akilles kunde springa tio gånger så snabbt som sköldpaddan och gav därför storsint sköldpaddan ett försprång (som vi kan säga var 100 meter i moderna mått).

Zenons poäng var nu att Akilles aldrig skulle komma ikapp sköldpaddan eftersom i det ögonblick vår hjälte nådde fram till den plats där sköldpaddan var vid början av loppet så hade den ju kommit tio meter längre fram.

Och när Akilles nådde fram till den platsen skulle sköldpaddan ha nått ytterligare en meter och så vidare. Avståndet mellan dem skulle hela tiden minska, men det skulle aldrig bli noll.

© Science Photo Library

Oändlighet blir till fysiskt Nonsens

Gabriels horn blåser fysiken
Den geometriska figuren Gabriels horn har fått sitt namn efter ärkeängeln Gabriel som ska blåsa i hornet på domedagen. Figuren är ett exempel på att matematiska sanningar förlorar sin mening när de överförs till fysikens värld.

receptet är enkelt
I ett koordinatsystem ritas först en kurva (gul) för formeln y = 1/x. Därefter roteras den del av kurvan där x är större än 1 runt x-axeln (med de gröna pilarna). Resultatet är en tredimensionell, horn-formad figur (röd).

Arean sticker iväg från volymen
Gabriels horn blir tunnare och tunnare när x blir större. Låter vi x gå mot oändligheten händer något märkligt med figurens yta och volym:

YTANS AREA (eller insidan) av hornet fortsätter att växa och blir oändligt stor. VOLYMEN på hornet fortsätter inte att växa men närmar sig talet pi – och är alltså ändligt.

För en fysiker är detta besynnerligt. Det betyder nämligen att även om vi fyllde Gabriels horn helt med färg så skulle det ändå inte räcka till att måla varken utsidan eller insidan på hornet.

Zenons paradoxer togs upp av filosofen och vetenskapsmannen Aristoteles som levde mellan 384 och 322 f.Kr.

Han var mycket intresserad av begreppet oändlighet och behandlade det bland annat i sitt verk ”Fysik”. Aristoteles tillbakavisar Zenons paradoxer utan att direkt motbevisa dem.

I stället skiljer han mellan det han kallar för ”potentiell oändlighet” och ”verklig oändlighet”. Detta avspeglar också Aristoteles egen bakgrund.

Som son till en läkare hade han en konkret och vetenskaplig syn på naturen, och som elev till filosofen Platon hade han samtidigt ett abstrakt sätt att beskåda världen.

Aristoteles menade i princip att oändlighet finns, men bara som möjlighet. Det är exempelvis principiellt möjligt att dela en linje i oändligt många delar eller att fortsätta räkna i det oändliga, men det är inte praktisk möjligt.

Det finns alltså en potentiell oändlighet, men den verkliga oändligheten finns inte. Som Aristoteles själv uttryckte det:

”Naturen flyr från det oändliga eftersom det oändliga är ofullbordat och naturen söker alltid efter ett slut.”

Håller Zenons hypotes?

En gammal grekisk paradox handlar om kapplöpningen mellan sägnens hjälte Akilles och en sköldpadda.

Renässansens genier fick ge upp
Nästan 2 000 år senare utmanades Aristoteles uppdelning av matematisk teori och fysisk verklighet av en av renässansens stora tänkare, Galileo Galilei.

1632 gav han ut en av sina viktigaste böcker, där Galilei jämförde två sätt att se på världen – det geocentriska, där jorden är i centrum av solsystemet, och det heliocentriska, med solen i centrum.

Boken är skriven som en dialog mellan förespråkare för de båda världsuppfattningarna, men det framgår tydligt att Galilei själv är anhängare av den heliocentriska – något som senare skulle ge honom stora problem med den katolska kyrkan.

Boken handlar dock inte bara om solsystemet. De två världsbildernas representanter diskuterar också matematiska oändligheter.

Dialogen avslöjar också följande tankar hos Galilei som funderade på sambandet mellan heltal och deras kvadrater: När vi multiplicerar ett heltal med sig själv får vi talets kvadrat.

Talet 1 har kvadraten 1, 2 har kvadraten 4, 3 har kvadraten 9, 4 har kvadraten 16 och så vidare. Vi ser snabbt att det finns massor av heltal som inte är kvadrater – exempelvis är det bara i serien från 1 till 10 siffrorna 2, 3, 5, 6, 7, 8 och 10 som inte är det.

Nu är frågan: Finns det fler heltal än kvadrattal? Intuitivt måste svaret vara ja och konsekvensen måste vara att oändligheten av heltal är större än oändligheten av kvadrattal.

Men så argumenterar Galilei vidare: Alla heltal har ju sitt eget kvadrattal och därför måste det finns lika många heltal som kvadrattal. Med detta argument har de två oändligheterna plötsligt blivit lika stora. Så vad är då rätt?

Galilei ger upp sina försök att lösa paradoxen. I stället drar han slutsatsen att när det handlar om oändligheter så finns ingen mening med att använda uttryck som ”större än”, ”lika med” eller ”mindre än”.

Det var en besvikelse för Galilei att behöva ge upp på det viset eftersom han ansåg att matematiken skulle vara universell. Den var i hans ögon inte bara ett verktyg människan hade skapat för att beskriva världen, utan fanns i naturen – eller som han själv uttryckte det:

”Naturens bok är skriven på matematikens språk.”

Galileis egen bok beskrevs som kättersk av kyrkan redan året efter utgivningen på grund av dess förespråkande av en heliocentrisk världsbild.

I två århundraden var den förbjuden läsning för katoliker och släpptes fri först 1835. Innan Galileis bok hamnade på svarta listan hade den dock garanterat lästs av hans elev och stora beundrare, Evangelista Torricelli.

Torricelli var både fysiker och matematiker, och liksom sin läromästare stötte han också på en paradox om oändligheter.

Det skedde när han 1644 räknade på en geometrisk figur som senare har blivit känd som Torricellis trumpet, och även kallas Gabriels horn.

Det förunderliga med figuren är att man med ganska enkel matematik kan räkna ut att dess yta är oändligt stor – och med lika enkel matematik kan visa att dess volym är ändlig.

Det är intuitivt provocerande. Det betyder nämligen att om vi föreställer oss att vi fyller figuren med färg skulle det ändå inte räcka till att måla insidan på den.

Det är alltså återigen ett exempel på att matematiken kolliderar med praktiska, fysiska tankar.

Matematikern skulle hävda att färgen visst kan täcka trumpetens insida om den bara är tunn nog – oändligt tunn. Fysikern säger då att någon sådan färg inte finns.

© Getty Images

"Naturens bok är skriven på matematikens språk."

Galileo galilei (1564–1642) menade att matematiken är universell och att oändligheter därmed också måste finnas i naturen.

Vissa oändligheter är exakt lika stora

För Galileis och Torricellis efterföljare fanns det således massor av utmaningar att ta sig an. Galilei efterlämnade ett problem som skulle vänta över 200 år på sin lösning.

Och lösningen levererades av den unge och talangfulle Georg Cantor. I början av 1870-talet, långt innan han fick psykiska problem, tog Cantor tag i Galileis paradox om oändligheten för hela tal och deras kvadrattal.

Cantor var inte nöjd med Galileis slutsats om att det inte var lönt att jämföra storleken på oändligheter – och han ville göra något åt det. Cantor använde själv exemplet där alla tal i serien 10, 20, 30, 40, 50 och så vidare hör ihop med talen 1, 2, 3, 4, 5 och så vidare.

10 hör till exempel ihop med 1, 20 med 2 och så vidare. Resultatet är en rad par ”utan hål” mellan dem, eller för att säga det på ett annat sätt: Det finns lika många element i de två talserierna som båda är oändliga.

Exakt samma sak gäller kvadrattalen 1, 4, 9, 16, 25 och så vidare. Och även de jämna talen 2, 4, 6, 8, 10 och så vidare. Och de udda talen 1, 3, 5, 7, 9 och så vidare. Alla dessa talserier – eller talmängder – är lika stora, helt enkelt för att vi kan bilda par mellan dem och vara säkra på att vi inte hoppar över något.

I princip är mängderna ”räknebara” trots att de naturligtvis inte är det i praktiken eftersom det bokstavligt talat skulle ta en evighet. Detsamma gäller för bråk och för negativa tal och därmed för alla de tal som vi kallar rationella.

Hotellet har alltid plats för en till

Historien om Hilberts Hotel visar att så kallade räknebara oändligheter har samma storlek. Hilberts Hotel har oändligt många rum och oavsett hur många gånger som ett oändligt antal gäster anländer så kommer det alltid att finnas plats.

Irrationella tal ger större oändlighet

Cantors sätt att tänka var revolutionerande eftersom hans metod fungerade för att lägga ihop två oändligheter. Ett enkelt exempel är den oändliga raden av udda tal och den oändliga raden av jämna tal.

Lägger vi ihop de två mängderna får vi den oändliga raden naturliga tal. Alla tre mängderna är uppenbarligen räknebara, och vi kan därför också säga att ∞ + ∞ = ∞.

Här är det viktigt att förstå att vi inte kan ”räkna vidare” på det matematiska påståendet på samma sätt som vi är vana vid att göra med ekvationer.

Vi kan till exempel inte dra bort ∞ på båda sidor om likhetstecknet för då får vi fram att ∞ = 0, vilket uppenbarligen är fel.

Genom att bevisa att de räknebara oändligheterna är lika stora hade Cantor också bevisat att det i kontrast till Galileis påstående kan vara meningsfullt att jämföra storleken för oändligheter.

Samtidigt hade han lagt grunden för en helt ny gren av matematiken som vi i dag kallar mängdlära.

Georg Cantor förstod att hans sätt att se på räknebara oändligheter bara omfattade rationella tal. Men de irrationella talen då? Tal som π eller det beryktade √2, som kostade Hippasos livet i antikens Grekland?

Irrationella tal kan inte skrivas som bråk utan bara som decimaltal där decimalerna fortsätter i all oändlighet.

Cantor bevisade att när man har en rad av sådana oändliga decimaltal är det alltid möjligt att konstruera flera som i storlek ligger inom serien. I varje intervall av irrationella tal finns det därför oändligt många element.

"Rädslan för oändlighet är ett tunnelseende, som förstör möjligheten att se den verkliga oändligheten."

Georg cantor (1845-1918) uppfann mängdläran och ett nytt sätt att hantera oändligheter.

Det betyder att när vi utvidgar mängden av tal till att omfatta irrationella tal – och därmed tar med alla reella tal – så får vi en annan form av oändlighet än för de rationella talen. Den är ”oräknebar” och därför större – eller ”mäktigare” som Cantor skulle säga.

Det ”oräknebara” motsvarar på många sätt den oändlighet vi tänker på när vi delar upp en linje oändligt många gånger – eller när vi tänker på den sträcka som Akilles i Zenons gamla paradox skulle springa för att nå fram till sköldpaddan.

Sträckan blev kortare och kortare, men enligt Zenon aldrig noll. Det höll Cantor inte med om och hans argument löd så här: Ett oändligt decimalbråk som konvergerar mot – det vill säga närmar sig – ett heltal, exempelvis 0, har samma egenskaper som talet själv och är därför lika med det.

Vi kan till exempel tänka på decimaltalet 0,1 och dividera det med 10 om och om igen. Då får vi först 0,01, sedan 0,001, sedan 0,0001 och så vidare.

Föreställer vi oss att det sker oändligt många gånger har vi alltså ett tal som kan skrivas så här: 0,00 … 1 – där de tre prickarna representerar oändligt många nollor.

Med andra ord kommer vi aldrig att nå siffran 1, och därför är talet i praktiken en stor fet nolla.

Därmed blir avståndet mellan Akilles och sköldpaddan också någon gång en nolla så han både kommer ikapp och springer förbi den.

Det matematiska tecknet för oändlighet, ∞, symboliserar sannolikt en orm som biter sig själv i svansen.

Georg Cantors banbrytande tankar och bevis föll inte i god jord hos alla kollegor. Den franske matematikern Henri Poincaré var ihärdig motståndare till Cantors arbete och konstaterade hånfullt:

”Kommande generationer kommer att se mängdlära som en sjukdom som de har drabbats av.”

Inte ens Cantors gamla lärare och mentor från universitetet i Berlin, professor Leopold Kronecker, hade något snällt att säga om Cantors resultat:

”Jag vet inte vad som dominerar Cantors teori – om det är filosofi eller teologi – men jag är säker på att det inte har något med matematik att göra.”

Som synes var Kronecker ur en professionell aspekt helt oenig med sin tidigare elev, men hans hårda ord hänvisar tydligt till en helt annan sida av Cantor, nämligen hans tro.

Cantor var mycket religiös och därför var det också viktigt för honom att hans matematiska arbete var i harmoni med hans gudsuppfattning.

För Cantor var oändligheter inte bara potentiella möjligheter, som Aristoteles argumenterade. De var lika ”verkliga” som allt annat i matematiken och därmed som allt annat i världen.

Liksom Galilei såg Cantor inte matematiken som något abstrakt skapat av människan, utan som något grundläggande i naturen skapat av Gud. Och vad Gud har skapat har Han också makt att förverkliga. Cantor uttryckte det så här:

”Rädslan för oändlighet är en form av tunnelseende som förstör möjligheten att se det sant oändliga, trots att det i sin högsta form har skapat och närt oss, och i sina sekundära oändliga former finns överallt omkring oss och till och med bor i vårt sinne.”

© Shutterstock

De äldsta problemen i matematikens värld

De äldsta problemen i matematikens värld handlar förmodligen om de så kallade perfekta talen. Ett tal är perfekt om det är lika med summan av alla sina delare förutom sig självt.

Exempelvis är 28 perfekt eftersom talet kan delas med 1, 2, 4, 7 och 14, som tillsammans blir 28. I numerisk ordning är det första perfekta talen 6, 28, 496, 8 128 och 33 550 336.

Pythagoréerna, och senare även Euklides, var djupt fascinerade av de perfekta talen och de stred med många problem som handlade om dessa tal. Vilket problem som är äldst vet man inte, men det kunde mycket väl vara det om huruvida det finns en oändlig många perfekta tal eller inte.

Denna fråga är ännu i dag obesvarad. I december 2003 upptäckte man det 40:e perfekta talet – ett tal som innehåller drygt tolv miljoner siffror.

Det går inte att utesluta att det fortfarande finns många perfekta tal. Det är heller inte avgjort om det finns udda perfekta tal eller inte.

Innan någon tar sig an uppgiften att leta bör de dock veta att matematiker ställt upp vissa villkor för eventuella udda perfekta tal: De har över 300 siffror och innehåller minst 29 primfaktorer.

Matematikerna delades i två läger

Striden mellan Kronecker och Cantor fortsatte under de två decennierna fram till Kroneckers död 1891. De representerade varsin egen matematisk grundsyn, vilken delade dåtidens matematiker i två läger.

För Cantor var tal och matematik verklighet, och det gällde alla tal – även de irrationella. För Kronecker var tal bara verkliga när man kunde se deras fysiska existens, vilket också betydde att han trivdes bra med naturliga tal, men inte gillade irrationella tal.

Bristen på erkännande från sin gamla lärare tog hårt på Cantor och kan ha bidragit till de depressioner han plågades av senare i livet. Han fortsatte sitt arbete inom matematiken, men i slutet av karriären på universitetet i Halle drog han gradvis ned på den och fokuserade på sina andra två intressen: Filosofi och litteratur.

Efter hand fick dock fler och fler upp ögonen för kvaliteten i Cantors matematiska arbete och uppfinning av mängdläran. En av Cantors allra största beundrare var landsmannen David Hilbert, som kallade Cantors resultat för ”den finaste produkt av matematisk genialitet och en av de yppersta bedrifterna av rent intellektuell mänsklig aktivitet”.

Senare har Hilbert skapat en känd visualisering av Cantors räknebara oändligheter med det som har fått namnet ”Hilberts Hotel”.

Tanken är att vi ska tänka oss ett hotell med oändligt många rum, numrerade 1, 2, 3, 4, 5 och så vidare. Alla rum är enkelrum och samtliga är upptagna.

Sent på kvällen anländer en ny gäst, och i stället för att skicka iväg honom väljer receptionisten att lösa problemet.

Han ber gästen i rum 1 att flytta till rum 2, gästen i rum 2 att flytta till rum 3, gästen i rum 3 att flytta till rum 4 och så vidare.

På så sätt får han ett ledigt rum, nämligen rum 1, som den nya gästen flyttar in i. Rent matematiskt visar exemplet, att ∞ + 1 = ∞.

Ingen får dock någon nattro, för strax därefter anländer en buss med oändligt många gäster. Även de får den rådige receptionisten plats för.

Han väcker återigen alla sina gäster och ber dem nu att lämna sina rum och sedan flytta in i det närmaste lediga rummet med ett jämnt tal.

Först flyttar gästen från rum 1 till rum 2, sedan flyttar gästen från 2 till 4, gästen från 3 till 6 och så vidare. Sedan kan det nya sällskapet flytta in i rummen med udda nummer.

De tålmodiga gästerna får dock fortfarande inte sova en blund, för plötsligt ankommer inte mindre än oändligt många bussar som samtliga har oändligt många resenärer.

Här måste receptionisten tänka till lite innan han hittar lösningen. Först ber han alla sina gäster att lämna sina rum och flytta till rum med udda nummer 1, 3, 5, 7, 9 och så vidare.

De bor nu alltså i de rum som matematiskt kan skrivas som 2n – 1, där n är rumsnumren. Nästa sällskap får rummen som kan skrivas som 2(2n – 1).

Tredje gänget får rummen med nummer som är dubbla föregående grupps nummer, det vill säga 4(2n – 1). Så här fortsätter receptionisten att fördela följande grupper av oändliga gäster – i det oändliga. Det finns plats så det räcker.

Med sitt exempel demonstrerade David Hilbert en viktig poäng i Cantors mängdlära, och han använde det flitigt i sina föreläsningar. Hilberts Hotel visar nämligen både att ∞ + ∞ = ∞ och att ∞ x ∞ = ∞.

Oändligheter ledde till matematiskt paradis

För David Hilbert var uppfinningen av mängdläran ett matematiskt genidrag, och som han sade:

”Ingen kan utvisa oss från det paradis Cantor har skapat.”

Med ”oss” har Hilbert givetvis menat ”oss matematiker”, för trots att Cantors mängdlära gav en helt ny matematisk förståelse för oändligheter ger den inget svar på om oändligheter finns i verkligheten. I den fysiska världen existerar dessvärre varken hotell med oändligt många enkelrum och inte heller några bussar med oändligt många sittplatser.

Ändå kan matematiska oändligheter i vissa fall visa sig beskriva naturens värld överraskande exakt – och dessutom på ett visuellt övertygande sätt.

Under andra halvan av 1900-talet blev ett nytt matematiskt begrepp känt och populärt långt utanför matematikens värld: fraktaler. Fraktaler är vackra, geometriska figurer baserade på enkla matematiska ekvationer.

Fraktaler har den egenskapen att de till synes upprepar sig själva i det oändliga – vilket betyder att när man zoomar in på en liten del av figuren ser det överordnade mönstret ut att framträda igen.

Ett känt exempel beskrevs av den svenske matematikern Helge von Koch redan 1904. Det går under namnet von Kochs snöflinga och går ut på att dela sidorna på en liksidig triangel på samma sätt om och om igen. Resultatet blir en figur som liknar en snöflinga.

Oändligt litet finns inte i naturen

Fraktaler härmar naturens minsta detaljer

En enkel fraktal uppstår när vi delar sidorna på en liksidig triangel enligt detta recept:

  • © Shutterstock

    Ta bort den mittersta tredjedelen av sidan. Ersätt den med en spets som består av två linjer med samma längd som den del du tog bort.

  • © Shutterstock

    Upprepa processen med triangelns alla sidor. Resultatet blir en sexkantig stjärna.

  • © Shutterstock

    Gör nu likadant med stjärnans sidor och fortsätt på det här viset. Resultatet blir en figur som mer och mer kommer att se ut som en snökristall.

  • © Shutterstock

    Naturen sätter gränser

    Fraktaler kan zooma in på allt mindre detaljer i det oändliga, men naturen har en nedre gräns:

    Det minstA i naturen kan inte vara mindre än den så kallade plancklängden som är 1,6 x 10-35 meter.

Den franska matematikern Benoît Mandelbrot tog 1967 upp tankegången i en artikel i den vetenskapliga tidskriften Science, där han ställde frågan: ”Hur lång är Storbritanniens kustlinje?”.

Mandelbrots poäng var att svaret beror på skalan på den karta du tittar på. Ju mindre skala, desto fler detaljer får du med och desto längre blir kustlinjen.

1982 gav Mandelbrot ut boken ”The Fractal Geometry of Nature” och de vackra mönstren och deras slående likhet med strukturer i naturen var samtidigt orsaken till att fraktaler som egentligen var ett tämligen nördigt matematiskt ämne, över en natt blev ett fenomen som alla hade hört talas om.

Trots att fraktalernas oändligheter kan jämföras med snökristaller, kustlinjer eller strukturer i allt från trädkronor och ormbunksblad till blomkål och snigelhus betyder det inte att fraktaler är en direkt beskrivning av dem.

I fraktalernas värld finns ingen begränsning för hur djupt vi kan zooma in på strukturerna. Det är som i naturens värld. Till slut kommer vi till den atomära och subatomära skalan, vilket är fysikens minsta byggstenar och till de minsta enheter som finns.

I kvantmekaniken går den nedre gränsen för hur litet något kan vara vid den så kallade plancklängden som är 1,6 x 10-35 meter. Här stannar alltså verkligheten medan matematiken kan fortsätta – bokstavligt talat i all oändlighet.

Universum har plats för oändligheter

Kosmologin är det enda vetenskapliga fält där det traditionellt är ”okej” att tala om fysiska oändligheter. I universum uppträder så extrema fenomen att vi hittills bara har kunnat beskriva dem med hjälp av oändligheter. Ett av dem är svarta hål.

I centrum av ett svart hål är gravitationen oändligt stor eftersom en stor mängd materia har pressats ihop i ett oändligt litet område av rymden.

Fenomenet, som också kallas för singularitet, följer på Albert Einsteins generella relativitets­teori från 1915. Einstein tvivlade dock själv på att singulariteter finns i verkligheten.

”Svarta hål är som att Gud har dividerat med noll,” sägs han ofta ha sagt. Det har han dock inte eftersom begreppet svart hål först introducerades på 1960-talet och Einstein dog 1955.

Men formuleringen är ett mycket tydligt exempel på den aversion Einstein hade – och andra fysiker fortfarande har – mot föreställningen om fysiska oändligheter.

En annan fråga om fysisk oändlighet är naturligtvis universums storlek. Är det oändligt stort eller finns det en gräns? Från mitten av 1900-talet fram till 1970-talet var många fysiker och astronomer eniga om att universum var oändligt stort och hade en oändligt lång historia.

Denna teori, som gick under namnet ”steady state” och fördes fram av den stora brittiske astronomen Fred Hoyle, fick dock gradvis ge vika för stora smällen-teorin.

I dag menar de flesta att universum uppstod från en singularitet för 13,8 miljarder år sedan och därefter har utvidgat sig till den storlek det har i dag.

Om stora smällen-teorin håller har universum logiskt sett en ändlig storlek – om det inte vid någon tidpunkt har vuxit med oändlig hastighet.

Våra observationer begränsas av att ljus har en ändlig hastighet och att det därför finns en gräns för hur långt vi kan se ut i universum.

Astronomerna talar om ”det synliga universum” och har beräknat att det sträcker sig 46,6 miljarder ljusår ut åt alla håll från jorden.

Vad som kan ligga längre bort får vi aldrig veta något om eftersom universums utvidgning betyder att ljus från så fjärran platser aldrig kommer att nå fram till oss.

Problemet med universums storlek blir inte enklare av att vi inte vet vilken form det har. Återigen är det Einstein som både har gjort oss klokare och mer förvirrade.

Över stora avstånd är vår vanliga tredimensionella uppfattning om rymden inte tillräcklig.

© claus lunau

Oändligt stort är fortfarande möjligt

Universums gräns ligger bortom vår horisont

Ljuset rör sig genom rymden med en ändlig hastighet och det sätter en gräns för hur långt vi kan se ut i universum.

På en astronomisk skala måste vi lägga till en fjärde dimension – tiden. Universum har alltså en fyrdimensionell form som är svår att se framför sig. Kanske ger formen universum en oändlig storlek, eller kanske betyder den att universum, som Einstein själv föreslog, är ändligt men utan gränser.

Det låter paradoxalt, men tänk på ytan av en kula eller en donut. Den har en ändlig area, men vi kan dra en rät linje på den och fortsätta dra den utan att någonsin möta en gräns.

Vi vet ännu inte om det förhåller sig så här. Kanske avviker matematiken även här från fysiken. Kanske finns det helt enkelt inga oändligheter eller så har vi bara inte lyckats förstå dem tillräckligt bra ännu. Som Einstein själv sade:

”Två saker är oändliga – universum och människans dumhet. Och när det gäller universum så är jag inte helt säker.”

Läs också:

Soundproofed room, Orfield
Teknik

Ljuddött rum ger total arbetsro

0 minuter
Jordskalv får väg att kollapsa
Jordskalv

Jordbävningar kan förskjuta tid och rum

10 minuter
Fenomen inom fysiken

Amerikansk fysiker ska skapa en spiral för att gå bakåt i tiden

19 minuter

Logga in

Ogiltig e-postadress
Lösenord behövs
Visa Dölj

Redan prenumerant? Prenumererar du redan på tidningen? Klicka här

Ny användare? Få åtkomst nu!

Nollställ lösenord.

Skriv in din e-postadress, så skickar vi anvisningar om hur du återställer ditt lösenord.
Ogiltig e-postadress

Kontrollera din e-post

Vi har skickat ett e-postmeddelande till med instruktioner om hur du återställer ditt lösenord. Kontrollera ditt skräppostfilter om meddelandet inte har kommit.

Uppge nytt lösenord.

Skriv in ett nytt lösenord. Lösenordet måste ha minst 6 tecken. När du har upprättat ditt lösenord blir du ombedd att logga in.

Lösenord behövs
Visa Dölj