Vetenskapens största paradoxer: Självmotsägelser gör oss klokare

Lögner gör datorer mer mänskliga

Uttänkt: 400 f.Kr.

"Detta påstående är falskt" är en version av ”lögnarens paradox”, i vilken ett uttalande bildar en obrytbar kedja av cirkulär referens, för om meningen är falsk så är den ju sann, men om den är sann så är den falsk.

Paradoxen kommer från greken Eubulides, som ställde frågan: ”En man säger att han ljuger – talar han sanning eller inte? ” Kedjan av självmotsägelser kan expanderas, så att den utgörs av flera påståenden, exempelvis: ”Nästa mening är sann. Den föregående är falsk.”

Paradoxen har lett till att en del logiker har övergett idén om bivalent logik, det vill säga att påståenden antingen är sanna eller falska. I stället tillåts alla värden mellan de två ytterligheterna. Ett påstående kan exempelvis vara delvis sant, eller så kan det förekomma en partiell överensstämmelse mellan två bilder. Denna angreppsvinkel tillämpas i exempelvis ansiktsigenkänning.

Den mest kända icke-bivalenta logiken är så kallad suddig logik. Denna logik ingår i programmeringen av neurala nätverk och artificiell intelligens, eftersom den simulerar beslutsprocesser som påminner om mänsklig intuition.

Omöjlig triangel lurar din hjärna

Uttänkt: 1934

"Omöjlighet i sin renaste form" kallade den brittiske matematikern Roger Penrose figuren. Den omöjliga triangeln tecknades första gången av den svenske konstnären Oscar Reutersvärd 1934 och gjordes populär av Penrose och den nederländske konstnären Escher. Figuren är en optisk illusion, som ser ut som en rumslig, tredimensionell triangel när den ritas i två dimensioner, men som inte kan existera i verklighetens tre dimensioner.

Vid en första anblick ser triangeln rimlig ut, men det är omöjligt att följa dess ytor med blicken hela vägen runt; den nedersta bjälken kan exempelvis se ut att ligga både framför och bakom triangelns högsta punkt.

Medvetandeforskarna har undersökt hjärnans förmåga att se den omöjliga triangeln som tredimensionell, även efter att illusionen har brutits. Experimenten stöder en psykologisk teori om att människans kognitiva system är uppdelat i delvis oberoende moduler. Den visuella modulen fortsätter alltså att se triangeln som ett objekt, trots att vårt medvetande har avslöjat synvillan.

Löparen kommer aldrig ikapp sköldpaddan

Uttänkt: 400 f.Kr.

Sagohjälten Akilles ställer upp i en kapplöpning med en sköldpadda. Akilles är segerviss och ger sköldpaddan ett rejält försprång på exempelvis 100 meter.

Medan Akilles hämtar in försprånget på 100 meter hinner sköldpaddan springa ytterligare tio meter. Medan Akilles springer de tio meterna, tillryggalägger sköldpaddan en meter till. Medan Akilles springer den metern, hinner sköldpaddan tio centimeter längre och så vidare.

Konsekvensen av tankeexperimentet blir att Akilles aldrig kan komma ikapp sköldpaddan, han kommer bara allt närmare. Sunda förnuftet säger oss dock att det är något fel med uträkningen och modern matematik ger oss rätt.

I dag har matematiker löst paradoxen genom begreppet gränsvärde. I Zenons värld kunde hälften av vägen minus en fjärdedel minus en åttondel och så vidare aldrig bli noll. Men i dag vet vi att 0,0...1 – där punkterna representerar ett oändligt antal nollor – är detsamma som 0, eftersom vi aldrig kommer till siffran 1.

Oändligheten förekommer i flera storlekar

Uttänkt: 1873

I vardagslivet gäller talesättet om att helheten alltid är större än dess beståndsdelar, men i matematiken förhåller det sig helt annorlunda. Paradoxen blir tydlig när man betraktar talen.

Tal som kan representera ett avstånd på en linje kallas reella tal. Det är alla tal som kan skrivas som decimaltal med upp till oändligt många signifikanta siffror. 2 och 78,4297 och talet pi (3,14...), som beskriver förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, är alla reella tal.

Matematiskt kan det bevisas att det finns oräkneligt många reella tal även mellan 0 och 1. Det vill säga fler än vad som kan räknas med naturliga tal – alla de positiva heltal, exempelvis 1, 2, 27 och 158 – som också i sig själva utgör en oändlig mängd. Den oändliga mängden av naturliga tal är en delmängd av den också oändliga mängden reella tal.

Med andra ord finns det flera sorters oändlighet och en del oändligheter är större än andra. Det bevisade den tyske matematikern Georg Cantor med Cantors diagonalmetod, när han på 1880-talet lade grunden till den moderna mängdläran.

Cantors förståelse av flera slags oändligheter bygger på den italienske matematikern och fysikern Galileo Galileis arbete. Galilei insåg att även om mängden av kvadrattal, det vill säga 1, 4, 9, 16 och så vidare, är en delmängd av de naturliga talen, måste de två mängderna vara lika stora. Varje enskilt naturligt tal kan nämligen paras ihop med sitt eget kvadrattal, alltså 1 med 1, 2 med 4, 3 med 9 och så vidare.

Universum illustrerar att det också existerar flera sorters oändlighet i den fysiska världen. Observationer tyder nämligen på att det både redan är oändligt och samtidigt konstant expanderar.

Theseusskeppet delades i två delar

Uttänkt: 500 f.Kr.

I grekisk mytologi seglar sagokonungen och hjälten Theseus hem från Kreta i ett skepp som sedan ligger i Atens hamn i århundraden. Skeppet utsätts för väder och vind och tidens tand, och med tiden byts varenda planka ut tills det slutligen inte finns någonting kvar av det ursprungliga skeppet. Men är det då fortfarande samma skepp? Eller ett nytt skepp? Och vid vilken tidpunkt blev det i så fall ett annat skepp?

Historien diskuterades bland annat av Herakleitos, Platon och Plutarchos och uttrycker ett grundläggande och olösligt problem med begreppet identitet över tid. Paradoxen spelar också en roll för vår syn på människan. Nästan inga celler överlever från födelse ända till vår död, så vad är det som gör oss till samma individer genom hela livet? Och vad kommer det att innebära om våra medvetanden en vacker dag kan kopieras över till en dator?

Den brittiske filosofen Thomas Hobbes komplicerade paradoxen ytterligare med historien om en sjöman som samlar in alla kasserade plankor från Theseusskeppet och till slut kan återbygga det. Vilket av de två skeppen är då Theseus skepp?

Orsaksslingor har ingen början

Uttänkt: 1781

Ditt äldre jag dyker plötsligt upp med utförliga ritningar till en tidsmaskin, så att du kan bygga den och senare – när du själv har blivit ditt äldre jag – kan resa tillbaka till ditt yngre jag med samma ritningar.

Historien beskriver en så kallad sluten orsaksslinga utan startpunkt. Paradoxen tillskrivs Rudolf Erich Raspe, författaren till historierna om baron von Münchhausen, som drog upp sig själv i håret och därmed både var orsak och verkan.

Orsaksslingor är populära i filmer och böcker om tidsresor, men utgör också ett forskningsområde. År 2020 lät forskare från University of Queensland publicera en artikel som matematiskt dokumenterar att verkligheten kommer att korrigera sig själv så att slingan inte leder till en paradox.

Forskarna förutspår att även om en ursprunglig orsak avlägsnas – exempelvis den första patienten som smittades med covid-19 – skulle efterföljande händelser söka sig till den faktiska nutiden. En annan person skulle alltså bli den som smittades först, varpå historien skulle utvecklas mot att alltmer likna den ursprungliga.